(Re)construindo Conceitos Atuariais:

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Nesse Editorial, em razão da subjetividade dos Testes Estatísticos, gostariamos de confrontá-los com um Teste Atuarial de simples realização, para fins do Estudo de Adequação de Tábuas de Mortalidade, obrigatório em Planos de Previdência Complementar de Entidades Fechadas, cuja modalidade seja de Benefício Definido ou Contribuição Variável.

Conforme a Instrução Previc Nº 23/2015, que estabelece orientações e procedimentos, entre outras, para a realização dos Estudos de Adequação das Tábuas de Mortalidade, é facultada a comprovação de tais hipóteses através de Testes Estatísticos ou Atuariais.

Testes Estatísticos são poderosos e são utilizados em diversas áreas com sucesso. No entanto, o que nos faz escrever a respeito, no âmbito das EFPC’s, foi o fato de observar a falta de transparência de alguns Estudos, que omitiam a distribuição etária utilizada, causando por vezes resultados distorcidos.

Em nossa opinião, Testes Estatísticos como o Kolmogorov-Smirnov (KS) e o Qui-Quadrado (X²) requerem sensibilidade para a melhor construção dos dados, porque essa é a principal etapa para a obtenção de resultados confiáveis. Cumprir somente os requisitos[1] de distribuição (frequência) não basta, porque a subjetividade ou a sensibilidade permitida para a realização dos referidos Testes pode ocasionar em resultados contrários. Por exemplo, uma simples mudança da distribuição etária pode resultar em “Evidências Suficientes ou Insuficientes para rejeitar a Tábua de Mortalidade que vem sendo adotada”, como veremos mais a frente.

[1] Todas as frequências esperadas devem ser maiores ou iguais a 1; e Não mais de 20% das frequências esperadas devem ser inferiores a 5.

Posso dizer que já vimos Testes Estatísticos, para Adequação de Tábuas de Mortalidade, em que os resultados obtidos indicavam uma Tábua com menor expectativa de vida a um grupo mais jovem de participantes e uma outra com maior expectativa de vida a um grupo de participantes com idades mais avançadas. Além disso, o que nos deixou mais intrigados foi que os resultados da Tábua de Mortalidade com a maior expectativa de vida foi rejeitada para o grupo mais jovem de participantes. Esses Estudos foram apresentados em relação a 2 (dois) Planos de uma mesma Entidade, e incomodaram porque em um simples Teste Atuarial, cujo modelo veremos mais a frente, podemos comprovar que a tal Tábua de Mortalidade com menor expectativa de vida não era adequada a nenhum dos grupos de participantes e a de maior expectativa de vida se mostrava adequada a ambos os grupos.

Então, o que questionamos é – será que estão realizando os Testes Estatísticos da forma adequada, com a devida sensibilidade? Ou somente estão dando um “jeitinho” de cumprir seus requisitos e apresentar resultados pouco confiáveis? Esses Estudos foram objeto de uma segunda opinião, e por isso minha preocupação com a maneira como os Testes Estatísticos vêm sendo utilizados para demonstrar a adequação das Tábuas de Mortalidade.

De forma breve, quando o Estudo de Adequação da Tábua de Mortalidade é realizado através de Teste Estatístico, é necessário que o faça partindo do Teste de Hipótese Kolmogorov-Smirnov (para duas amostras), a fim de comprovar que tanto a frequência de óbitos esperada quanto a ocorrida apresentam a mesma distribuição (comportamento), ou seja, que a frequência de ambos ocorre de maneira semelhante a cada distribuição etária, em termos percentuais; Assim, não havendo evidências para rejeitar tal Tábua, um segundo Teste de Hipótese deve ser realizado, o Qui-Quadrado (de Aderência). O objetivo deste Teste é comprovar que a diferença entre os óbitos ocorridos e esperados é razoavelmente próxima a cada distribuição etária. Para esses Testes Estatísticos, é comum se utilizar 95% (noventa e cinco por cento) como expectativa de acerto.

Em outras palavras, significa dizer que, no primeiro Teste (KS), gostaríamos de saber se a frequência de óbitos ocorre da mesma forma que esperamos por dada Tábua de Mortalidade, ou seja, se a concentração dos óbitos ocorre nas mesmas faixas etárias que esperamos. Como era de se prever, dificilmente as Tábuas de Mortalidade são rejeitadas nesse Teste, uma vez que foram construídas através de um grande número de observações relativas ao mercado segurador. O gráfico a seguir ilustra a forma, antes mencionada, em que a frequência de óbitos esperados e ocorridos se distribui em cada faixa etária:

Já no segundo Teste (X²), gostaríamos de saber se a diferença entre os óbitos ocorridos e esperados é aceitável, ou seja, se o que se espera de óbitos pela Tábua de Mortalidade está próximo do número de óbitos que vem ocorrendo em cada faixa etária. Esse é o Teste definitivo, aqui o resultado sinaliza se a Tábua de Mortalidade é adequada ou não, se existem ou não evidências para rejeitá-la.

Sendo assim, acreditamos que um bom Teste Estatístico depende de um grande número de observações. Caso contrário, será necessária a sensibilidade de quem o realiza, no momento da montagem da distribuição de óbitos ocorridos e esperados por faixa etária, de modo a não descaracterizar suas diferenças, conforme podemos demonstrar a seguir:

Analisando as Tabelas acima, podemos ver que a montagem da distribuição de óbitos por faixa etária faz toda a diferença, logo, não pode ser omitida. Vejam que o Teste (KS) não encontra evidências suficientes para rejeitar a Tábua de Mortalidade, independentemente da forma como a distribuição etária foi construída (Tabelas 1 e 2). Já o Teste (X²) encontra Evidências Suficientes para rejeitar a Tábua de Mortalidade, ao se considerar a distribuição dos óbitos esperados e ocorridos em faixas etárias de 9 em 9 anos (Tabela 1.1). E o oposto ocorre quando consideramos essa distribuição em faixas etárias de 11 em 11 anos (Tabela 2.1), em que o referido Teste encontra Evidências Insuficientes para rejeitar tal Tábua. Portanto, todo Teste Estatístico deve vir acompanhado da distribuição etária dos óbitos ocorridos e esperados, que justificou seu resultado, permitindo assim, que possa ser confrontado por terceiros.

Até o momento, propositadamente, utilizamos a nomenclatura “Tábua de Mortalidade”, porque esse tem sido o foco dos Testes Estatísticos, a comparação entre óbitos ocorridos e esperados de uma amostra de indivíduos de um Plano de Benefícios. Mas, sabemos que a Tábua de Mortalidade, constituída de probabilidades de morte por idade, na verdade é utilizada para estimar a Sobrevivência dos participantes em uma avaliação atuarial.

Assim, virando a chave, gostariamos de apresentar um Teste Atuarial, para fins de Estudo de Adequação de Tábuas de Mortalidade/Sobrevivência, cujo foco é observar se a expectativa de vida, dada por determinada Tábua, está razoavelmente próxima aos níveis de sobrevivência dos participantes de um Plano de Benefícios.

Esse Teste Atuarial é bem simples e toma por base o conceito de Provisão Matemática de Benefício a Conceder – PMBAC (Reserva Esperada) e Provisão Matemática de Benefício Concedido – PMBC (Reserva Efetiva). Como as Provisões Matemáticas têm por objetivo estimar o Valor Presente do saldo relativo ao pagamento de benefícios, considerando a expectativa de vida (média) de seus integrantes, o Teste Atuarial observará exatamente se aqueles que vêm sobrevivendo estão dentro do que se esperava por determinada Tábua. Dessa forma, poderemos ratificar se o prazo esperado para tais pagamentos está ou não adequado à expectativa de vida (média) de seus participantes, considerando a Tábua de Mortalidade/Sobrevivência que vem sendo adotada na avaliação atuarial das Provisões Matemáticas.

Nesse contexto, entendemos que qualquer Estudo de Adequação de Tábuas de Mortalidade/Sobrevivência deva ser realizado somente com dados referentes aos assistidos (aposentados e pensionistas) do Plano, porque eles são os integrantes que já estão em gozo de prestação continuada pelo Plano. Em uma avaliação atuarial, tanto a Tábua de Mortalidade/Sobrevivência Geral quanto a de Inválidos servem para estimar o tempo de pagamento de benefícios em função da expectativa de vida. Já a Tábua de Mortalidade/Sobrevivência de Ativos (calculada a partir das Tábuas de Mortalidade/Sobrevivência Geral e de Inválidos, Entrada em Invalidez e Rotatividade, geralmente, pelo método atuarial de Hamza) é utilizada somente para calcular a probabilidade do participante ativo sobreviver até se tornar elegível ao benefício programado.
Inicialmente, esse Teste Atuarial era realizado da seguinte forma:

Onde:
13 é o número de pagamentos mensais;
Benef é o valor do benefício mensal recebido pelo individuo;
nPx  é a probabilidade de o individuo de idade x sobreviver até a idade x+n;
a(x+n;i%)^(12) é a anuidade atuarial que calcula o tempo de pagamento do benefício mensal, em anos, considerando a expectativa de vida da Tábua de Mortalidade/Sobrevivência já com o fator de descapitalização anual do valor do benefício em relação à Taxa Real de Juros i%.

Assim, considerando um grupo fechado de assistidos em um momento t=0, comparávamos a provável expectativa de pagamentos de benefícios desse grupo após n anos (Reserva Esperada) com a efetiva expectativa de pagamentos relativos aos sobreviventes desse grupo após n anos (Reserva Efetiva). Se essa relação fosse igual ou superior a 1,0000, podíamos dizer que determinada Tábua de Mortalidade/Sobrevivência estava adequada, logo, indicávamos aquela que fosse igual ou superior mais próxima a 1,0000.

NOTA: Como o objetivo do Teste é calcular a Reserva provável após n anos, relativo a um grupo de assistidos, e comparar com a Reserva daqueles que sobreviveram após esses n anos, na equação relativa à Reserva Esperada do Teste não é aplicado o fator de descapitalização v^n, como na avaliação atuarial da PMBAC.

Após debates em foros acadêmicos e atuariais, entendemos que poderíamos revisar o método, de forma que o foco ficasse somente na Tábua de Mortalidade/Sobrevivência. Dessa forma, retiramos a força do Juros (i% = 0%) e desconsideramos o peso do Benefício (Benef = R$ 1,00), restando tão somente a influência da referida Tábua na nova versão do Teste, como podemos ver a seguir:

Nesse caso, a anuidade atuarial a(x+n;0%)^(12) é, aproximadamente, igual à expectativa de vida de um assistido de idade igual a x+n anos. Logo, considerando um grupo fechado de assistidos em um momento t=0, o Teste Atuarial está comparando a expectativa de vida de cada assistido, dada a probabilidade dele sobreviver após n anos, em relação à expectativa de vida dos assistidos que efetivamente sobreviveram após n anos. Como dito anteriormente, as Tábuas adequadas são aquelas em que tal resultado é igual ou superior a 1,0000, com predileção pelas mais próximas a 1,0000.

Para concluir, as duas alternativas sugeridas do Teste Atuarial, com ênfase na Sobrevivência, podem ser utilizadas. Sendo que, da maneira inicial, se verifica a adequação da Tábua de Mortalidade/Sobrevivência, considerando a influência do valor do benefício recebido e da hipótese da Taxa Real de Juros Anual do Plano, similarmente à apuração do reflexo de ganhos e perdas atuariais, em relação à determinada Tábua, entre avaliações atuariais. E, da segunda forma, o Teste verifica a adequação da Tábua somente em relação aos níveis de sobrevivência obtidos pelos assistidos do Plano, sem qualquer outra influência no resultado. De qualquer forma, não tem como dizer que um modelo é melhor que o outro, mas que o primeiro observa se a evolução das Provisões Matemáticas está ocorrendo como se esperava em função dos níveis de sobrevivência de seus integrantes; Enquanto que o segundo modelo observa estritamente se os níveis de sobrevivência esperados estão adequados aos assistidos que vêm sobrevivendo.

Portanto, como a maioria dos Planos de Benefícios do Brasil possui um número relativamente pequeno de assistidos, considerando a Lei dos Grandes Números – Teoria Estatística, recomendamos que o período de exposição ao risco de morte / sobrevivência a ser observado no Teste seja de n = 5 (cinco) anos.

Esse Teste Atuarial pode ser utilizado tanto para a Tábua de Mortalidade/Sobrevivência Geral quanto para a de Inválidos, basta selecionar a base de assistidos relacionada à hipótese que deseja testar. Cabe destacar que o modelo inicial deste Teste está citado sob a denominação de “MONTELLO”, no subitem 6.1 do capítulo 6 do livro “A Demografia dos Fundos de Pensão”, de autoria do Sr. Ricardo Pena Pinheiro – Coleção Previdência Social – Volume 24.

Autores: Equipe Jessé Montello.